سایت فرهنگی کانون خورشید یک سایت دیگر با وردپرس فارسی
ریاضیات سومری/بابلی
برگرفته از سایت: storyofmathematics.com
مترجم: ستاره علی‌دوست
ویراستار علمی: نیما مفاخری
سومر (منطقه‌ای در میان‌رودان، عراق امروزی) زادگاه نوشتار، چرخ، کشاورزی، طاق، گاوآهن، سیستم آبیاری و نوآوری‌های دیگرِ بسیار بود و اغلب به‌عنوان مهد تمدن از آن یاد می‌شود. سومریان یکی از قدیمی‌ترین سیستم‌های نوشتار شناخته‌شده را ابداع کردند -یک سیستم نوشتاری تصویرنگار که آن را با نام خط میخی می‌شناسیم و در آن از حروف گوِه‌مانند حک‌شده روی لوح‌های سفالی استفاده می‌شود- و این بدان معناست که ما در واقع نسبت به ریاضیات کهن سومری و بابلی دانش بیشتری داریم تا ریاضیات مصر باستان. در واقع ما حتی چیزهایی در دست داریم که به نظر می‌رسد تمرینات مسائل حساب و هندسه‌ی مدرسه باشند.
سفال‌های مخروطی سومری
ریاضیات در سومر نیز، همانند مصر، درابتدا زمانی که تمدنشان استقرار یافت و کشاورزی توسعه یافت (احتمالاً حدود هزاره‌ی ششم پیش از میلاد) به‌عنوان پاسخی برای نیازهای اداری، مثل اندازه‌گیری قطعات زمین و تعیین مالیات افراد و غیره، به وجود آمد. به‌علاوه، سومریان و بابلیان در حین تلاش برای ترسیم نمودار حرکت آسمان شبانه و ایجاد تقویم قمری پیچیده‌ی خود نیاز به توصیف اعداد نسبتاً بزرگ داشتند.
آن‌ها احتمالاً اولین کسانی بودند که نمادهایی را به گروهی از اشیاء اطلاق کردند تا به این ترتیب تعریف اعداد بزرگ را تسهیل کنند. آن‌ها ابتدا از علائم و نمادهای مجزا برای دسته‌های گندم و شیشه‌های روغن و غیره استفاده کردند و سپس به سمت به‌کارگیری انتزاعی نمادها برای تعداد مشخصی از چیزها رفتند.
هم‌زمان با آغاز هزاره‌ی چهارم پیش از میلاد، آن‌ها شروع به استفاده از یک مخروط سفالی کوچک برای نشان دادن عدد یک، توپی سفالی برای عدد ده و مخروطی بزرگ برای عدد شصت کردند. در طول هزاره‌ی سوم، معادل‌های میخی جایگزین این اشیا شد به نحوی که بتوان اعداد را با همان قلم حکاکی‌ای نوشت که برای کلمات در متن به کار می‌رفت. گمان می‌رود که در سومر، در حدود سال‌های 2700-2300 پ.م. گونه‌ای ابتدائی از چرتکه استفاده می‌شده است.
سیستم اعداد سومری و بابلی: مبنای شصت
ریاضیات سومری و بابلی بر مبنای سیستم شمارگان شصت‌گانی یا مبنای 60 بود. که می‌توانست به‌صورت فیزیکی با استفاده از 12 بند انگشت یک دست و پنج انگشت دست دیگر شمارش شود. برخلاف اعداد مصری و یونانی و رومی، برای اعداد سومری از سیستم ارزش‌مکانی درستی استفاده می‌شد، که در آن درست شبیه سیستم ده‌گانی نوین و البته با استفاده از مبنای 60 به جای مبنای 10، اعداد نوشته‌شده در ستون سمت چپ بزرگ‌ترین ارزش را نشان می‌دادند. بنابراین 111[1] در سیستم بابلی 3600 به‌اضافه‌ی 60 به‌اضافه‌ی یک یا همان 3661 را نشان می‌داد. همچنین برای نشان دادن اعداد 1 تا 59 در هر ارزش‌مکان دو نشانه‌ی مجزا استفاده می‌شد، یک نشانه‌ی یکان 1 و یک نشانه‌ی ده‌گان : که به روشی شبیه به سیستم ارقام رومی با هم ترکیب می‌شدند. مثال: 23 به این شکل نشان داده می‌شد ::111 . بنابراین 1 ::111 60 به‌اضافه‌ی 23 یعنی 83 را نشان می‌دهد. اگرچه عدد 60 با همان علامتی نشان داده می‌شد که عدد 1 را نشان می‌داد و از آنجایی که آن‌ها معادلی برای نقطه‌ی اعشار نداشتند، ارزش مکان واقعی یک نشانه باید از مفهوم متن برداشت می‌شد.
اعداد بابلی
گمان می‌رود که بخش‌پذیر بودن عدد 60 بر اعداد بسیار (1، 2، 3، 4، 5، 6، 10، 12، 15، 20، 30 و 60) پیشرفت بابلی‌ها را در ریاضیات تسهیل کرده باشد. (در واقع 60 کوچک‌ترین عدد صحیحی است که بر تمامی اعداد صحیح 1 تا 6 بخش‌پذیر است.) و استفاده‌ی متداوم امروزی از 60 ثانیه در هر دقیقه، 60 دقیقه در هر ساعت و 360 (60×6) درجه در دایره همه گواهی بر سیستم کهن بابلی هستند. به دلایل مشابهی است که 12 (که ضریب‌هایی از 1، 2، 3، 4 و 6 را داراست) در طول تاریخ این قدر مضروب محبوبی بوده است. (مثال: 12 ماه، 12 اینچ، 12 پنی، 12×2 ساعت و…)
بابلی‌ها همچنین مفهوم ریاضی انقلابی دیگری را ایجاد کردند که مصری‌ها و یونانی‌ها و رومیان نداشتند: علامت دایره‌ای برای صفر. اگر چه نشانه‌ی آن در واقع بیشتر از آنکه فی‌نفسه یک عدد باشد یک مکان‌نما بود.
خشت‌های سفال بابلی
ما شواهدی از توسعه‌ی یک سیستم پیچیده‌ی علم مقیاسات و مقادیر در سومر حدود 3000 پیش از میلاد و همچنین جدول‌هایی مربوط به ضرب و معکوس (تقسیم)، مجذور، ریشه‌ی دوم و سوم، مسائل هندسی و مسائل تقسیم مربوط به حدود 2600 پ.م. به بعد در دست داریم. جدول‌های متأخرتر بابلی که به سال‌های حدود 1600 تا 1800 برمی‌گردند، موضوعات متنوعی را شامل می‌شود از قبیل کسرها، جبر، روش‌های حل معادلات درجه یک، درجه دو و حتی بعضی معادلات درجه سه و محاسبه جفت اعداد متقابل باقاعده (جفت‌های اعدادی که ضرب‌درهم حاصلشان 60 می‌شود). در یک لوح بابلی رادیکال‌دو (2√) با دقت بی‌نظیری تا 5 رقم اعشار محاسبه شده است. در برخی از آن‌ها مربع اعداد را تا 59 و مکعب اعداد را تا 32 و همچنین جداول بهره مرکب فهرست شده است. و در یکی دیگر عدد پی تا 8/1 3 تخمین زده شده است ( یعنی 3.125 که تقریب معقولی برای ارزش واقعی آن 3.14 است.)
الواح خشتی بابلی متعلق به 2100 پ.م. که مسئله‌ای مربوط به محیط یک شکل نامنظم را نشان می‌دهد.
ایده‌ی اعداد مربع و معادلات درجه دوم (حالتی که یک مقدار مجهول در خودش ضرب شود) طبیعتاً در حیطه‌ی اندازه‌گیری زمین‌ها ایجاد شده است و الواح بابلی نخستین شواهد حل‌کردن معادلات مربعی را به دست می‌دهند. روشی که بابلی‌ها برای حل‌کردن آن‌ها به کار می‌بستند، حول نوعی بازی هندسی می‌گشت که شامل قطعه‌قطعه‌کردن اشکال و چیدمان دوباره‌ی آن‌ها بود، اگرچه استفاده از جبر و معادلات درجه دوم نیز در آن دیده می‌شود. حداقل بعضی از نمونه‌هایی که در دست داریم، انگار بیش از اینکه برای حل یک مسئله‌ی عملی بیرونی باشند، نشان‌دهنده‌ی فرآیند حل‌مسئله‌ی صرف هستند.
بابلی‌ها اشکال هندسی را در بناها و طراحی‌هایشان به کار می‌بردند و همچنین برای تاس بازی‌های اوقات‌فراغتشان، مثل بازی کهن تخته نرد که در جامعه‌ی آن‌ها بسیار محبوب بود. هندسه‌ی آن‌ها تا محاسبه‌ی محیط مستطیل و مثلث و ذوزنقه و همچنین هجم اشکال ساده مثل آجر و استوانه (به جز اهرام) پیشرفت کرده بود.
لوح خشتی پلیمتون 322
لوح خشتی مشهور و پرحاشیه‌ی پلیمتون 322 که باور بر این است به تاریخ حدود 1800 پ.م. برگردد، گویای این است که بابلیان احتمالاً به‌خوبی راز مثلث قائم‌الزاویه را (اینکه وتر به توان دو برابر است با مجموع دو ضلع دیگر به توان دو) قرن‌ها قبل از فیثاغورث یونانی می‌دانسته‌اند. در این لوح گویی 15 مثلث صحیح فیثاغورثی با اضلاعی به اعداد صحیح ثبت شده‌اند که بعضی ادعا می‌کنند آن‌ها به‌صورت سنجیده و فکرشده نمایانگر سه‌گانه‌های فیثاغورثی نبودند، بلکه صرفاً تمرین‌های آموزشی بودند.
[1] فونت اعداد میخی در متنِ این صفحه دچار اشکال شده است؛ برای خواندن متن با فونتِ صحیح، به فایل پی.دی.اف. در انتهای صفحه رجوع کنید.
برای دریافت متن در قالب کتابچه‌ی pdf مناسب برای نمایشگر گوشی‌های هوشمند پیوند زیر را انتخاب کنید:
برای خواندن مقاله به زبان اصلی این پیوند را بنگرید:
